Question

A、B是抛物线y²=2px(p＞0)上的两点，满足OA⊥OB(O为坐标原点).求证：?

(1)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积均为定值；?

(2)直线AB经过一个定点.?

Answer 1

证明:(1)设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),则?

y₁²=2px₁、y₂²=2px₂.?

∵OA⊥OB,?∴x₁x₂+y₁y₂=0,?

y₁²y₂²=4p²x₁x₂=4p²·(-y₁y₂).?

∴y₁y₂=-4p²,从而x₁x₂=4p²也为定值.?

(2)∵y₁²-y₂²=2p(x₁-x₂),?

∴=.

∴直线AB的方程为y-y₁= (x-x₁),

即y=x-·+y₁,

y=x+,

亦即y=(x-2p).

∴直线AB经过定点(2p,0).

温馨提示:本例的证明还可以设OA的方程为y=kx, OB的方程为y=-x.由OA的方程与抛物线的方程联立求得A点的坐标，再由OB的方程与抛物线的方程联立求得B点的坐标,利用A、B的坐标证明.