Question

已知A、B是抛物线y²=2px（p＞0）上异于原点O的两点，则“

OA

•

OB

=0”是“直线AB恒过定点（2p，0）”的（　　）

• A、充分非必要条件
• B、充要条件
• C、必要非充分条件
• D、非充分非必要条件

Answer 1

分析：由“

OA

•

OB

=0”推“直线AB恒过定点（2p，0）”联立直线方程与抛物线方程，利用消元法得到关于x的一元二次方程，由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，建立关于参数k，b的关系，消去b可得y=kx-2pk=k（x-2p），显然直线恒过（2p，0），注意对直线的斜率的讨论；由“直线AB恒过定点（2p，0）”推“

OA

•

OB

=0”设l：x=ty+2p代入抛物线y²=2px消去x得，y²-2pty-4p²=0，利用韦达定理即可求得∴“

OA

•

OB

=0”，因此“

OA

•

OB

=0”是“直线AB恒过定点（2p，0）”的充要条件．

解答：解：由“

OA

•

OB

=0”推“直线AB恒过定点（2p，0）”
设点A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）
（I）当直线l有存在斜率时，设直线方程为y=kx+b，显然k≠0且b≠0．
联立方程得：

y=kx+b y2=2px

消去y得k²x²+（2kb-2p）x+b²=0
由题意：x1x2=

b2

k2

，y₁y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）=

2pb

k

又由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，
即

b2

k2

+

2pb

k

=0，解得b=0（舍去）或b=-2pk
故直线l的方程为：y=kx-2pk=k（x-2p），故直线过定点（2p，0）
（II）当直线l不存在斜率时，设它的方程为x=m，显然m＞0
联立方程得：

x=m y2=2x

解得 y=±

2m

，即y₁y₂=-2m
又由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，即m²-2m=0，解得m=0（舍去）或m=2
可知直线l方程为：x=2，故直线过定点（2，0）
综合（1）（2）可知，满足条件的直线过定点（2，0）．
由“直线AB恒过定点（2p，0）”推“

OA

•

OB

=0”
设l：x=ty+2p代入抛物线y²=2px消去x得，
y²-2pty-4p²=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则y₁+y₂=2pt，y₁y₂=-4p²
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（ty₁+2p）（ty₂+2p）+y₁y₂
=t²y₁y₂+2pt（y₁+y₂）+4p²+y₁y₂
=-4p²t²+4p²t²+4p²-4p²=0．
∴“

OA

•

OB

=0”是“直线AB恒过定点（2p，0）”的充要条件．
故选B．

点评：本题考查了直线与抛物线的位置关系，以及证明直线恒过定点，以及充分条件和必要条件的判断，同时考查学生的计算能力，属于中档题题．