题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，四边形
为正方形， 
平面
， 
， 
是
上一点，且
.
（1）求证： 
平面
；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】试题分析：
（1）连接
，由线面垂直的性质定理可得
，且
，故
平面
， 
，又
，利用线面垂直的判断定理可得
平面
.
（2）法1：由（1）知
平面
，即
是直线
与平面
所成角，设
，则
， 
， 
，结合几何关系计算可得
，即直线
与平面
所成角的正弦值为
.
法2：取
为原点，直线
， 
， 
分别为
， 
， 
轴，建立坐标系
，不妨设
，结合(1)的结论可得平面
得法向量
，而
，据此计算可得直线
与平面
所成角的正弦值为
.
试题解析：
（1）连接
，由
平面
， 
平面
得
，
又
， 
，
∴
平面
，得
，
又
， 
，
∴
平面
.
（2）法1：由（1）知
平面
，即
是直线
与平面
所成角，易证
，而
，
不妨设
，则
， 
， 
，
在
中，由射影定理得
，
可得
，所以
，
故直线
与平面
所成角的正弦值为
.
法2：取
为原点，直线
， 
， 
分别为
， 
， 
轴，建立坐标系
，不妨设
，则
， 
， 
，
由（1）知平面
得法向量
，而
，
∴
.
故直线
与平面
所成角的正弦值为
.
练习册系列答案
相关题目
【题目】下表提供了工厂技术改造后某种型号设备的使用年限x和所支出的维修费y（万元）的几组对照数据:
x（年） | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y（万元） | 1 | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
（1）若知道y对x呈线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程
；
（2）已知该工厂技术改造前该型号设备使用10年的维修费用为9万元，试根据（1）求出的线性回归方程，预测该型号设备技术改造后，使用10年的维修费用能否比技术改造前降低?参考公式:
，
.
