题目内容

[x]表示不超过x的最大整数，定义函数f（x）=x-[x]．则下列结论中正确的有
②
②

①函数f（x）的值域为[0，1]；
②方程f（x）=
12
有无数个解
③函数f（x）的图象是一条直线；   
④函数f（x）是R上的增函数．
分析：在解答时要先充分理解[x]的含义，从而可知针对于选项注意对新函数的最值、单调性以及周期性加以分析即可．
解答：解：∵函数f（x）的定义域为R，又∵f（x+1）=（x+1）-[x+1]=x-[x]=f（x），
∴函数{x}=x-[x]是周期为1的函数，每隔一个单位重复一次，
所以方程f（x）=
1
2
有无数个解，故②正确；
当0≤x＜1时，f（x）=x-[x]=x-0=x，∴函数{x}的值域为[0，1），故①错误；
函数{x}是周期为1的函数，∴函数{x}不是单调函数，当然图象也不可能为一条直线，
故③④错误．
故答案为：②
点评：本题考查分段函数知识和函数值域等性质的综合类问题，属中档题．
练习册系列答案
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已知：函数f（x）=[x[x]]（x∈R），其中[x]表示不超过x的最大整数．
如[-2.1]=-3，[-3]=-3，[2.5]=2．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）若x∈[-2，3]，求f（x）的值域；
（3）若x∈[0，n]（n∈N*），f（x）的值域为An，现将An，中的元素的个数记为an．试求an+1与an的关系，并进一步求出an的表达式．
已知：函数f（x）=[x[x]]（x∈R），其中[x]表示不超过x的最大整数．
如[-2.1]=-3，[-3]=-3，[2.5]=2．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）若x∈[-2，3]，求f（x）的值域；
（3）若x∈[0，n]（n∈N*），f（x）的值域为An，现将An，中的元素的个数记为an．试求an+1与an的关系，并进一步求出an的表达式．
已知：函数f（x）=[x[x]]（x∈R），其中[x]表示不超过x的最大整数．
如[-2.1]=-3，[-3]=-3，[2.5]=2．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）若x∈[-2，3]，求f（x）的值域；
（3）若x∈[0，n]（n∈N*），f（x）的值域为An，现将An，中的元素的个数记为an．试求an+1与an的关系，并进一步求出an的表达式．
已知：函数f（x）=[x[x]]（x∈R），其中[x]表示不超过x的最大整数．
如[-2.1]=-3，[-3]=-3，[2.5]=2．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）若x∈[-2，3]，求f（x）的值域；
（3）若x∈[0，n]（n∈N*），f（x）的值域为An，现将An，中的元素的个数记为an．试求an+1与an的关系，并进一步求出an的表达式．
已知：函数f（x）=[x[x]]（x∈R），其中[x]表示不超过x的最大整数．
如[-2.1]=-3，[-3]=-3，[2.5]=2．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）若x∈[-2，3]，求f（x）的值域；
（3）若x∈[0，n]（n∈N*），f（x）的值域为An，现将An，中的元素的个数记为an．试求an+1与an的关系，并进一步求出an的表达式．

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