Question

已知：函数f（x）=[x[x]]（x∈R），其中[x]表示不超过x的最大整数．
如[-2.1]=-3，[-3]=-3，[2.5]=2．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）若x∈[-2，3]，求f（x）的值域；
（3）若x∈[0，n]（n∈N*），f（x）的值域为A_n，现将A_n，中的元素的个数记为a_n．试求a_n+1与a_n的关系，并进一步求出a_n的表达式．

Answer 1

（1）∵f（

3

2

）=[

3

2

[

3

2

]]=[

3

2

•1]=[

3

2

]=1，
f（-

3

2

）=[-

3

2

[-

3

2

]]=[-

3

2

•（-2）]=[3]=3，
∴f（-

3

2

）≠f（

3

2

），f（-

3

2

）≠-f（

3

2

），故f（x）为非奇非偶函数．（4分）
（2）当-2≤x＜-1时，[x]=-2，则2＜x[x]≤4，∴f（x）可取2，3，4；
当-1≤x＜0时，[x]=-1，则0＜x[x]≤1，∴f（x）可取0，1；
当0≤x＜1时，[x]=0，则x[x]=0，∴f（x）=0；
当1≤x＜2时，[x]=1，则1≤x[x]＜2，∴f（x）=1；
当2≤x＜3时，[x]=2，则4≤x[x]＜6，∴f（x）可取4，5；
又f（3）=[3[3]]=9，
故所求f（x）的值域为{0，1，2，3，4，5，9}，（9分）
（3）当n＜x＜n+1时，[x]=n，则 n²＜x[x]＜n（n+1），
故f（x）可取n²，n²+1，n²+2，…，n²+n-1，
当x=n+1时，f（n+1）=（n+1）²，
又当x∈[0，n]时，显然有f（x）≤n²．
因此，可得a_n+1=a_n+n，又由（2）知，a₁=2，
∴a_n=（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）+a₁
=（2-1）+（3-1）+（4-1）+1…+（n-1）+2
=

(n-1)(1+n-1)

2

+2=

n2-n+4

2

（14分）