Question

已知函数f（x）=

x2+cosx-sinx+1

x2+cosx+1

（x∈R）的最大值为M，最小值为m，则M+m=

 

．

Answer 1

分析：把已知函数化简可得f(x)=1-

sinx

x2+cosx+1

，构造函数g（x）=

sinx

x2+cosx+1

，利用定义可知g（x）为奇函数，其图象关于原点对称，即最值和为0，而g（x）取最大值（最小值）时f（x）取最小值（最大值），整体代入求值

解答：解：∵f(x)=

x2+cosx+1-sinx

x2+cosx+1

=1-

sinx

x2+ cosx+1

令g（x）=

sinx

x2+cosx+1

，则g（x）=1-f（x）

g(-x)=

sin(-x)

(-x)2+cos(-x)+1

= -g(x)
∴函数g（x）为奇函数，图象关于原点对称，最大值与最小值也关于原点对称，即函数g（x）的最值的和为0
∵f（x）=1-g（x）
∴M+m=1-g（x）_min+1-g（x）_max=2
故答案为：2

点评：本题考查了利用函数的性质：奇偶像解决函数的最值问题，解题时，不是把最大及最小值分别求出，而是利用整体思想求解，要灵活运用该方法．