Question

1．如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，M，N，G分别是AA₁，CD，CB，CC₁的中点．
（1）若平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁为棱长是2的正方体，求四面体A₁B₁D₁E的体积和表面积；
（2）求证；MN∥B₁D₁；
（3）求证：平面EB₁D₁∥∥平面BDG．

Answer 1

分析 （1）分别求出${S}_{△{A}_{1}{D}_{1}E}$，${S}_{△{A}_{1}{B}_{1}E}$，${S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{D}_{1}}$，${S}_{△{B}_{1}{D}_{1}E}$，由此能求出四面体A₁B₁D₁E的体积和表面积．
（2）由已知得BD∥MN，BD∥B₁D₁，由此能证明MN∥B₁D₁．
（3）由已知得BD∥B₁D₁，BG∥D₁E，由此能证明平面EB₁D₁∥∥平面BDG．

解答 （1）解：∵平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁为棱长是2的正方体，
∴${S}_{△{A}_{1}{D}_{1}E}$=${S}_{△{A}_{1}{B}_{1}E}$=$\frac{1}{2}×2×1$=1，
${S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{1}{2}×2×2$=2，
${S}_{△{B}_{1}{D}_{1}E}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{4+4}×\sqrt{1+2}$=$\sqrt{6}$，
∴四面体A₁B₁D₁E的体积：
${V}_{E-{A}_{1}{B}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{1}{3}×{A}_{1}E×{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{1}{3}×1×2$=$\frac{2}{3}$．
四面体A₁B₁D₁E的表面积：
S=${S}_{△{A}_{1}{D}_{1}E}$+${S}_{△{A}_{1}{B}_{1}E}$+${S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{D}_{1}}$+${S}_{△{B}_{1}{D}_{1}E}$=1+1+2+$\sqrt{6}$=4+$\sqrt{6}$．
（2）证明：∵在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N，G分别是CD，CB，CC₁的中点，
∴BD∥MN，BD∥B₁D₁，
∴MN∥B₁D₁．
（3）证明：∵在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，M，N，G分别是AA₁，CD，CB，CC₁的中点，
∴BD∥B₁D₁，BG∥D₁E，
∵BD∩BG=B，B₁D₁∩D₁E=D₁，
∴平面EB₁D₁∥∥平面BDG．

点评 本题考查四面体的体积和表面积的求法，考查直线与直线平行的证明，考查面面平行的证明，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．