Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1．
（1）求证：平面A₁B₁C₁⊥平面BB₁D₁D；
（2）求三棱锥B₁-A₁C₁B的体积；
（3）求异面直线BC₁与AA₁所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）通过证明A₁C₁⊥BB₁，A₁C₁⊥D₁B₁，D₁B₁∩BB₁=B ₁，即可证明A₁C₁⊥平面BB₁D₁D．然后证明平面A₁B₁C₁⊥平面BB₁D₁D；
（2）三棱锥B₁-A₁C₁B的体积转化为VA1-C1B1B求解即可；
（3）通过A₁A∥B₁B说明异面直线BC₁与AA₁所成角就是∠BB₁C₁，然后求解即可．

解答：证：（1）正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
∵A₁C₁?平面-A₁B₁C₁D₁，∴BB₁⊥A₁C₁即A₁C₁⊥BB₁，
又∵A₁C₁⊥D₁B₁，D₁B₁∩BB₁=B ₁，∴A₁C₁⊥平面BB₁D₁D，
∵A₁C₁?平面A₁B₁C₁，平面A₁B₁C₁⊥平面BB₁D₁D．
（2）三棱锥B₁-A₁C₁B的体积转化为：VA1-C1B1B，
VA1-C1B1B=

1

3

×(

1

2

×1×1)× 1=

1

6

．
（3）∵A₁A∥B₁B，∴∠BB₁C₁就是异面直线BC₁与AA₁所成角．
易知△BB₁C₁为等腰三角形，∴∠BB₁C₁=45°．
即异面直线BC₁与AA₁所成角的大小为45°．

点评：本题考查直线与平面的垂直，异面直线所成的角的求法，几何体的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力．