Question

10．为了让更多的人参与2010年在上海举办的“世博会”，上海某旅游公司面向国内外发行总量为2000万张的旅游优惠卡，其中向境外人士发行的是世博金卡（简称金卡），向境内人士发行的是世博银卡（简称银卡）．现有一个由36名游客组成的旅游团到上海参观旅游，其中$\frac{3}{4}$是境外游客，其余是境内游客．在境外游客中有$\frac{1}{3}$持金卡，在境内游客中有$\frac{2}{3}$持银卡．
（I）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；
（Ⅱ）在该团的境内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

Answer 1

分析 （I）由题意得，境外游客有27人，其中9人持金卡；境内游客有9人，其中6人持银卡．设事件B为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”，事件A₁为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”，事件A₂为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”．P（B）=P（A₁）+P（A₂），由此能求出在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率．
（Ⅱ）由题意得ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及数学期望Eξ．

解答 解：（I）由题意得，境外游客有27人，其中9人持金卡；境内游客有9人，其中6人持银卡．
设事件B为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”，
事件A₁为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”，
事件A₂为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”．
P（B）=P（A₁）+P（A₂）=$\frac{{C}_{9}^{1}{C}_{21}^{2}}{{C}_{36}^{3}}+\frac{{C}_{9}^{1}{C}_{6}^{1}{C}_{21}^{1}}{{C}_{36}^{3}}$ …（3分）
=$\frac{9}{34}+\frac{27}{170}$=$\frac{36}{85}$，
所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是$\frac{36}{85}$．…（6分）
（Ⅱ）由题意得ξ的可能取值为0，1，2，3
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{1}{84}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{3}{14}$，
P（ ξ=2）=$\frac{{C}_{6}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{15}{28}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{15}{21}$，（每个1分）
所以ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{84}$	$\frac{3}{14}$	$\frac{15}{28}$	$\frac{5}{21}$

所以Eξ=$0×\frac{1}{84}+1×\frac{3}{14}+2×\frac{15}{28}+3×\frac{5}{21}$=2．…（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一，解题时要注意排列组合知识的合理运用．