Question

8．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{1-（x-1）^{2}}，0≤x＜2}\\{f（x-2），x≥2}\end{array}\right.$，若对于正数k_n （n∈N^*），关于x的函数g（x）=f（x）-k_nx 的零点个数恰好为2n+1个，则k₁²+k₂²+…+k_n²=（　　）

• A． $\frac{1}{8n}$
• B． $\frac{n}{n+1}$
• C． $\frac{n}{4n+4}$
• D． $\frac{n}{4n+1}$

Answer 1

分析 函数g（x）=f（x）-k_nx 的零点个数可化为函数f（x）与y=k_nx的图象的交点的个数；作函数f（x）与y=k_nx的图象，结合图象可得y=k_nx的图象与y=$\sqrt{1-（x-2n-1）^{2}}$的图象相切，从而可得$\frac{1}{2}$$\frac{-2（x-2n-1）}{\sqrt{1-（x-2n-1）^{2}}}$=$\frac{1}{x}$$\sqrt{1-（x-2n-1）^{2}}$，从而解得k_n=$\frac{1}{x}$$\sqrt{1-（x-2n-1）^{2}}$=$\frac{1}{2\sqrt{n（n+1）}}$，从而可得k_n²=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），从而利用裂项求和法解得．

解答 解：函数g（x）=f（x）-k_nx 的零点个数可化为
函数f（x）与y=k_nx的图象的交点的个数；
作函数f（x）与y=k_nx的图象如下，
，
∵关于x的函数g（x）=f（x）-k_nx 的零点个数恰好为2n+1个，
∴y=k_nx的图象与y=$\sqrt{1-（x-2n-1）^{2}}$的图象相切，
∴$\frac{1}{2}$$\frac{-2（x-2n-1）}{\sqrt{1-（x-2n-1）^{2}}}$=$\frac{1}{x}$$\sqrt{1-（x-2n-1）^{2}}$，
∴x=$\frac{4n（n+1）}{2n+1}$，
∴k_n=$\frac{1}{x}$$\sqrt{1-（x-2n-1）^{2}}$
=$\frac{2n+1}{4n（n+1）}$$\sqrt{1-（\frac{4n（n+1）}{2n+1}-2n-1）^{2}}$
=$\frac{1}{2\sqrt{n（n+1）}}$，
∴k_n²=$\frac{1}{4n（n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴k₁²+k₂²+…+k_n²
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{n}{4（n+1）}$，
故选C．

点评 本题考查了导数的综合应用及数形结合的思想方法应用，同时考查了数列的性质与应用及裂项求和法的应用．