Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，n∈N^*，a_n＞0，数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{S_n}中存在若干项，按从小到大的顺序排列组成一个以S₁为首项，3为公比的等比数列{b_n}，
①求数列{b_n}的项数k与n的关系式k=k（n）；
②记，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用，可得，从而可得数列{}是以为首项，2为公差的等差数列，进而可求S_n，利用当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可求得数列的通项；
（2）①先确定b_n=3^n-1，再设b_n是数列{S_n}中的第k项，即可求得结论；
②n≥2时，＜，由此可证结论．
解答：（1）解：∵
∴
∴
∵a₁=1，∴
∴数列{}是以为首项，2为公差的等差数列
∴=
∵a₁=1，a_n＞0，
∴S_n＞1
∴
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=
当n=1时，a₁=1，
∴a_n=；
（2）①解：∵数列{S_n}中存在若干项，按从小到大的顺序排列组成一个以S₁为首项，3为公比的等比数列{b_n}，
∴b_n=3^n-1
设b_n是数列{S_n}中的第k项，即，∴
∴；
②证明：n≥2时，＜，
∴
∵
∴．
点评：本题考查的知识点为等差数列、等比数列的基础知识，考查不等式的证明，同时考查了推理论证能力，属于中档题．