Question

设函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0),曲线y=f(x)通过点(0,2a+3),且在点(-1,f(-1))处的切线垂直于y轴.

(1)用a分别表示b和c;

(2)当bc取得最小值时,求函数g(x)=-f(x)e^-x的单调区间.

Answer 1

解:(1)因为f(x)=ax²+bx+c,所以f′(x)=2ax+b.

又因为曲线y=f(x)通过点(0,2a+3),

故f(0)=2a+3.而f(0)=c,从而c=2a+3.

又曲线y=f(x)在(-1,f(-1))处的切线垂直于y轴,

故f′(-1)=0,

即-2a+b=0,因此b=2a.

(2)由(1)得bc=2a(2a+3)=4(a+)²,

故当a=-时,bc取得最小值.

此时有b=,c=.

从而f(x)=x²x+,f′(x)=x.

g(x)=-f(x)e^-x=(x²+x)e^-x,

所以g′(x)=(f(x)-f′(x))e^-x=(x²-4)e^-x.

令g′(x)=0,解得x₁=-2,x₂=2.

当x∈(-∞,-2)时,g′(x)＜0,故g(x)在x∈(-∞,-2)上为减函数;

当x∈(-2,2)时,g′(x)＞0,故g(x)在x∈(-2,2)上为增函数;

当x∈(2,+∞)时,g′(x)＜0,故g(x)在x∈(2,+∞)上为减函数.

由此可见,函数g(x)的单调递减区间为(-∞,-2)和(2,+∞);单调递增区间为(-2,2).