Question

设函数f(x)=ax-

b

x

，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0，
（1）求y=f（x）的解析式，并求其单调区间；
（2）用阴影标出曲线y=f（x）与此切线以及x轴所围成的图形，并求此图形的面积．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用切线方程，建立方程组，即可求y=f（x）的解析式，从而可得单调区间；
（2）作出函数图象，可得曲线y=f（x）与此切线以及x轴所围成的图形，利用定积分，可求面积．

解答：解：（1）求导函数，可得f′(x)=a+

b

x2

∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0，
∴f′(2)=

7

4

，f（2）=

1

2

∴

a+ b 4 = 7 4 2a- b 2 = 1 2

，∴a=1，b=3
∴f(x)=x-

3

x

，f′(x)=1+

3

x2

∴函数的单调增区间为（-∞，0），（0，+∞）；
（2）曲线y=f（x）与此切线以及x轴所围成的图形，如图所示

由7x-4y-12=0，可得y=

7

4

x-3，令y=0，可得x=

12

7

∴阴影部分的面积为

∫

2 12 7

[(

7

4

x-3)-(x-

3

x

)]=（

3

8

x2-3x+3lnx）

|

2 12 7

=-

315

686

+3ln

7

6

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．