题目内容
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 8 |
（I）求f（x）的解析式；（II）若α∈[
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| α |
| 2 |
分析：（I）图象的相邻两条对称轴间的距离为
，求出周期，求出ω的值．图象上一个最高点的坐标为(
，5)，求出A的值，利用点在图象上，求出φ，然后求出解析式．
（II）解法一：利用（1）得到f（x）的解析式；通过f(
)=3求出sinα+cosα，推出sin2α，cos2α，然后求出tan2α．
解法二：通过f(
)=3求出sin(α+
)=
，通过解答变换技巧，求出sinα，然后求出sin2α，cos2α，然后求出tan2α．
解法三：通过f(
)=3求出sinα+cosα，然后平方得到sin2α+2sinαcosα+2cos2α=
，利用齐次式求出tanα，根据α的范围，确定tanα的值，求出tan2α．
| π |
| 2 |
| π |
| 8 |
（II）解法一：利用（1）得到f（x）的解析式；通过f(
| α |
| 2 |
解法二：通过f(
| α |
| 2 |
| π |
| 4 |
| 3 |
| 5 |
解法三：通过f(
| α |
| 2 |
| 18 |
| 25 |
解答：解：（I）函数图象上一个最高点的坐标为(
，5)．A=5；
图象的相邻两条对称轴间的距离为
，所以T=π，ω=2，
(
，5)在图象上，所以2×
+φ=2kπ+
，（k∈Z），
故φ=2kπ+
，（k∈Z），又0＜φ＜
∴φ=
，
∴f(x)=5sin(2x+
)
（II）∵f(x)=5sin(2x+
)，∴f(
)=3=5sin(α+
)
sin(α+
)=
，
解法一：sinα+cosα=
，
sin2α+2sinαcosα+2cos2α=
sin2α=-
，α∈[
，
]，2α∈[
，
]，
cos2α=-
=-
tan2α=
解法二：∵f(x)=5sin(2x+
)，∴f(
)=3=5sin(α+
)
sinα=sin[(α+
)-
]=
×
-（-
）
=
cos2α=1-sin2α=-
cos2（α+
）=1-2sin2（α+
）=1-2(
)2=
cos2（α+
）=-sin2α∴sin2α=-
∴tan2α=
解法三：∵f(x)=5sin(2x+
)，∴f(
)=3=5sin(α+
)
sin(α+
)=
sinα+cosα=
，
sin2α+2sinαcosα+2cos2α=
=
=
解得tanα=-7，tanα=-
∵α∈[
，
] 所以tanα≤-1或tanα≥1，
所以tanα=-7，
tan2α=
=
| π |
| 8 |
图象的相邻两条对称轴间的距离为
| π |
| 2 |
(
| π |
| 8 |
| π |
| 8 |
| π |
| 2 |
故φ=2kπ+
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
∴f(x)=5sin(2x+
| π |
| 4 |
（II）∵f(x)=5sin(2x+
| π |
| 4 |
| α |
| 2 |
| π |
| 4 |
sin(α+
| π |
| 4 |
| 3 |
| 5 |
解法一：sinα+cosα=
3
| ||
| 5 |
sin2α+2sinαcosα+2cos2α=
| 18 |
| 25 |
sin2α=-
| 7 |
| 25 |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| 3π |
| 2 |
cos2α=-
| 1-sin2α |
| 24 |
| 25 |
tan2α=
| 7 |
| 24 |
解法二：∵f(x)=5sin(2x+
| π |
| 4 |
| α |
| 2 |
| π |
| 4 |
sinα=sin[(α+
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 3 |
| 5 |
| ||
| 2 |
| 4 |
| 5 |
| ||
| 2 |
7
| ||
| 10 |
cos2α=1-sin2α=-
| 24 |
| 25 |
cos2（α+
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 3 |
| 5 |
| 7 |
| 25 |
cos2（α+
| π |
| 4 |
| 7 |
| 25 |
∴tan2α=
| 7 |
| 24 |
解法三：∵f(x)=5sin(2x+
| π |
| 4 |
| α |
| 2 |
| π |
| 4 |
sin(α+
| π |
| 4 |
| 3 |
| 5 |
3
| ||
| 5 |
sin2α+2sinαcosα+2cos2α=
| 18 |
| 25 |
| sin2α+2sinαcosα+2cos2α |
| sin2α+cos2α |
| 18 |
| 25 |
| tan2α+2tanα+2 |
| tan2α+1 |
| 18 |
| 25 |
解得tanα=-7，tanα=-
| 1 |
| 7 |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
所以tanα=-7，
tan2α=
| 2tanα |
| 1-tan2α |
| 7 |
| 24 |
点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，周期的应用，已知三角函数值求其它三角函数值，考查计算能力，逻辑推理能力．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=a-
，若f（x）为奇函数，则a=（ ）
| 1 |
| 2x+1 |
A、
| ||
| B、2 | ||
C、
| ||
| D、3 |