Question

已知点O为坐标原点，圆C过点（1，1）和点（-2，4），且圆心在y轴上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）如果过点P（1，0）的直线l与圆C有公共点，求直线l的斜率k的取值范围；
（3）如果过点P（1，0）的直线l与圆C交于A、B两点，且|AB|=2

3

，试求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）根据题意设圆心C（0，c），利用两点间的距离公式列出关于c的方程，确定出圆心C坐标，进而确定出半径r，写出圆C方程即可；
（2）表示出直线l方程，根据直线l与圆有公共点，得到圆心到直线的距离d小于等于半径，即可求出k的范围；
（3）表示出直线l方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心C到直线l的距离d，根据已知的弦长与半径，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可确定出直线l方程．

解答：解：（1）设圆心C（0，c），
根据题意得：

12+(1-c)2

=

(-2)2+(4-c)2

，
解得：c=3，即C（0，3），
半径r=

12+(1-3)2

=

5

，
则圆C方程为x²+（y-3）²=5；
（2）直线l方程为y=k（x-1），即kx-y-k=0，
由题意得：圆心C到直线l的距离d≤r，即

|-3-k|

k2+1

≤

5

，
解得：k≤-

1

2

或k≥2；
（3）直线l方程为y=k（x-1），即kx-y-k=0，
∵圆心C到直线l的距离d=

|-3-k|

k2+1

，|AB|=2

3

，r=

5

，
∴2

3

=2

r2-d2

=2

5- (k+3)2 k2+1

，
解得：k=7或k=-1，
则直线l方程为7x-y-7=0或x+y-1=0．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及直线与圆相交的性质，弄清题意是解本题的关键．