题目内容

已知函数f（x）=x2-（2a+1）x+alnx
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调增区间；
（2）当a＞
1
2
时，求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值．
（1）当a=1时，f（x）=x2-3x+lnx，
令f′(x)=
2x2-3x+1
x
＞0，解得x＞1或x＜
1
2
．
则函数f（x）的单调增区间为(0，
1
2
)，(1，+∞)
（2）f（x）=x2-（2a+1）x+alnx，
令f′(x)=2x-(2a+1)+
a
x
=
2x2-(2a+1)x+a
x
=
(2x-1)(x-a)
x
=0
①当
1
2
＜a≤1，x∈[1，e]，f'（x）＞0，f（x）单调增．f（x）min=g（1）=-2a．
②当1＜a＜e，x∈（1，a），f'（x）＜0，f（x）单调减．，x∈（a，e），f'（x）＞0，f（x）单调增．f(x)min=f(a)=-a2-a+alna
③当a≥e，x∈[1，e]，f'（x）＜0，f（x）单调减，f(x)min=f(e)=e2-(2a+1)e+a
故函数f（x）在区间[1，e]上的最小值f(x)min=
-2a，
1
2
＜a≤1
-a2-a+alna，1＜a＜e
e2-(2a+1)e+a，a≥e
练习册系列答案
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精英家教网已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)
（2012•深圳一模）已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

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