Question

一个直角走廊宽为1.5m，如图所示，有一转动灵活的平板手推车，宽为1m，问要顺利推过直角走廊，平板车的长度不能超过多少米？

Answer 1

分析：由已知中直角走廊宽为1.5m，转动灵活的平板手推车，宽为1m，我们设AB所在直线与走廊外轮廓线交于点A′，B′，∠CDO'=θ，则我们可以构造出车长（CD）与θ的函数关系式，利用导数法，判断出函数的单调性，及最值，即可得到答案．

解答：解：设AB所在直线与走廊外轮廓线交于点A′，B′，∠CDO'=θ，则∠B'A'O'=θ．
∵CD=AB=A'B'-AA'-BB'，A′B′=A′O+OB′
而A′B′=

1.5

sinθ

+

1.5

cosθ

，AA'=cotθ，BB'=tanθ，
∴CD=1.5(

1

sinθ

+

1

cosθ

)-cotθ-tanθ=

3(sinθ+cosθ)-2

2sinθcosθ

．
令sinθ+cosθ=t，则CD=

3t-2

t2-1

．
又∵θ∈(θ，

π

2

]，∴t=

2

sin(θ+

π

4

)∈(1，

2

]．
令f(t)=

3t-2

t2-1

，∵f′(t)=-

3t2-4t+3

(t2-1)2

＜0，
∴f（t）在(1，

2

]上是减函数．
∴当t=

2

，即θ=

π

4

时，f（t）有最小值3

2

-2，
从而CD的最小值是3

2

-2．
故平板车的长度不能超过（3

2

-2）米．

点评：本题的考查的知识点是利用导研究函数的单调性，函数模型的选择，利用导数求闭区间上的函数的最值，其中根据已知条件构造出车长（CD）与θ的函数关系式，将实际问题转化为利用导数法求函数最值问题，是解答本题的关键．