Question

（2009•锦州一模）若二项式(

sinθ

x

-x)6展开式中的常数项为20，则θ的值为

2kπ-

π

2

(k∈Z)

．

Answer 1

分析：设二项式(

sinθ

x

-x)6展开式中的第r+1项为T_r+1，可求得T_r+1=（-1）^r•

C

r 6

(

sinθ

x

)6-r•x^r=（-1）^r•（sinθ）^6-r•x^2r-6，由x的系数为0可求得r，依题意可求得θ的值．

解答：解：设二项式(

sinθ

x

-x)6展开式中的第r+1项为T_r+1，
则T_r+1=（-1）^r•

C

r 6

(

sinθ

x

)6-r•x^r=（-1）^r•

C

r 6

•（sinθ）^6-r•x^2r-6，
令2r-6=0得：r=3，
∴二项式(

sinθ

x

-x)6展开式中的常数项为T₄=-sin³θ

C

3 6

=20，
∴sinθ=-1．
∴θ=2kπ-

π

2

，k∈Z．
故答案为：2kπ-

π

2

（k∈Z）．

点评：本题考查二项式定理的通项公式的应用，求得r=3是关键，考查分析、运算能力，属于中档题．