Question

【题目】已知函数 为偶函数，且函数的y=f（x）图象相邻的两条对称轴间的距离为 ．
（1）求 的值；
（2）将y=f（x）的图象向右平移 个单位后，再将所得的图象上个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求y=g（x）的单调区间，并求其在 上的最值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）= sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ﹣ ），…1分

因为函数是偶函数，

所以φ﹣ =kπ+ ，k∈Z，解得：φ=kπ+ ，k∈Z，

∵﹣ ＜φ＜0，

∴φ=﹣ ．

函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为 ，

所以T=π，T= =π，所以ω=2；

f（x）=2sin（2x﹣ ）=﹣2cos2x，…5分

则f（ ）=﹣2cos（2× ）=﹣2cos（ ﹣ ）=﹣

（2）解：由函数图象的变换可知，y=g（x）=﹣2cos（ x﹣ ），

由2kπ≤ x﹣ ≤2kπ+π，k∈Z，解得：4kπ+ ≤x≤4kπ+ ，k∈Z，

即函数y=g（x）的单调递增区间为：[4kπ+ ，4kπ+ ]k∈Z，

由2kπ+π≤ x﹣ ≤2kπ+2π，k∈Z，解得：4kπ+ ≤x≤4kπ+ ，k∈Z，

即函数y=g（x）的单调递减区间为：[4kπ+ ，4kπ+ ]k∈Z，

∵x∈ ，

∴结合函数的单调性可知：

当 x﹣ =0，即x= 时，y=g（x）最小值为﹣2

当 x﹣ =﹣ ，即x=﹣ 时，y=g（x）最大值为0

【解析】（1）通过两角差的正弦函数化简函数的表达式，求出函数的周期，利用函数是偶函数求出φ，然后求解 的值．（2）由函数图象的变换可求g（x）=﹣2cos（ x﹣ ），利用余弦函数的单调性可求y=g（x）的单调区间，由x∈ ，结合函数的单调性可求最大值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的相关知识，掌握图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．