题目内容

已知 $数学公式$ ．
（1）b=2时，求f（x）的值域；
（2）若b为正实数，f（x）的最大值为M，最小值为m，且满足：M-m≥4，求b的取值范围．

解：（1）当b=2时， $\text{[math]}$ ，
因为f（x）在 $\text{[math]}$ 上单调递减，在 $\text{[math]}$ 上单调递增，…（2分）
所以f（x）的最小值为 $\text{[math]}$ ，…（4分）
又因为f（1）=f（2）=0…（5分）
所以f（x）的值域为 $\text{[math]}$ …（6分）
（2）①当0＜b＜2时，f（x）在[1，2]上单调递增，
则m=b-2， $\text{[math]}$ ，此时 $\text{[math]}$ ，得b≤-6与0＜b＜2矛盾（舍去）…（8分）
②当2≤b＜4时，f（x）在 $\text{[math]}$ 上单调递减，在 $\text{[math]}$ 上单调递增，
所以 $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，解得b≥9，与2≤b＜4矛盾（舍去）…（11分）
③当b≥4时，f（x）在[1，2]上单调递减，
则M=b-2， $\text{[math]}$ ，此时 $\text{[math]}$ ，得b≥10…（13分）
综上所述，b的取值范围是[10，+∞）…（14分）
分析：（1）根据对勾函数的单调性看求出该函数的最小值和最大值，从而求出值域；
（2）讨论 $\text{[math]}$ 与区间[1，2]的位置关系，然后根据函数的单调性求出f（x）的最大值为M，最小值为m，然后根据M-m≥4，求b的取值范围即可．
点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及函数的单调性和研究函数值域，同时考查了分类讨论的数学思想和计算能力，属于中档题．