Question

21.

    已知抛物线y²=2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.

    (1)求抛物线方程；

    (2)过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；

    (3)以M为圆心，MB为半径作圆M.当K(m，0)是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系.

Answer 1

21.(1)抛物线y²=2px的准线为x=-，

于是4+=5，∴p=2.

   ∴抛物线方程为y²=4x.

   (2)∵点A是坐标是(4，4)，

 由题意得B(0，4)，M(0，2)，

   又∵F(1，0)，∴k_FA=；MN⊥FA，∴k_MN=-，

   则FA的方程为y=(x-1)，MN的方程为y-2=-x，

   

 

(3)由题意得，圆M.的圆心是点(0，2)，半径为2，

当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时，直线AK与圆M相离.

当m≠4时，直线AK的方程为y=(x-m)，

即为4x-(4-m)y-4m=0，

圆心M(0，2)到直线AK的距离d=，

令d>2，解得m>1

∴当m>1时，AK与圆M相离；

  当m=1时，AK与圆M相切；

  当m<1时，AK与圆M相交.