题目内容

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足3S_n=4a_n-8．
（1）求数列{a_n}通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=log₂a_n，若T_n是数列{b_n}的前n项和，求数列{ $数学公式$ }的前n项和．

解：（1）∵3S_n=4a_n-8，①
∴当n≥2时，3S_n-1=4a_n-1-8②
①-②得，3（S_n-S_n-1）=4a_n-4a_n-1，∴a_n=4a_n-1，
n=1时，3S₁=4a₁-8，∴a₁=8
∴数列{a_n}是以8为首项，4为公比的等比数列
∴a_n=2²ⁿ⁺¹；
（2）b_n=log₂a_n=2n+1，∴T_n= $\text{[math]}$ =n（n+2）
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴数列{ $\text{[math]}$ }的前n项和为 $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
分析：（1）再写一式，两式相减，可得数列{a_n}是以8为首项，4为公比的等比数列，由此可求数列{a_n}通项公式；
（2）确定数列{b_n}的通项，进而可求数列{b_n}的前n项和，利用裂项法，可求数列{ $\text{[math]}$ }的前n项和．
点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，确定数列的通项，利用裂项法求和是关键．

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