Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点，，是椭圆上的动点，且面积的最大值为.

（1）求椭圆的方程及离心率；

（2）若是椭圆的左、右顶点，直线与椭圆在点处的切线交于点，当点在椭圆上运动时，求证：以为直径的圆与直线恒相切.

Answer 1

【答案】（1），离心率为；（2）见解析

【解析】

（1）由题得关于的方程组，解之即得椭圆的方程和离心率；（2）由题意可设直线的方程为，设点的坐标为，求出 ，；再对分类讨论得当点在椭圆上运动时，以为直径的圆与直线恒相切.

（1）由题意可设椭圆的方程为，；由题意知，

解得，，所以椭圆的方程为，离心率为；

（2）证明：由题意可设直线的方程为，

则点坐标为，中点的坐标为；

由，得；

设点的坐标为，则，所以，；

因为点坐标为，当时，点的坐标为，直线轴，点的坐标为，

此时以为直径的圆与直线相切；

当时，则直线的斜率为，所以直线的方程为，

点到直线的距离为；

又因为，所以，故以为直径的圆与直线相切；

综上，当点在椭圆上运动时，以为直径的圆与直线恒相切.