Question

已知函数f（x）=x²+2ax+2
（1）若a=-1，求函数f（x）在x∈[-5，5]的最大值和最小值
（2）求f（x）在x∈[-5，5]的最小值为-3，求a的值．

Answer 1

分析：（1）若a=-1，则f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，对称轴为x=1，利用二次函数图象与性质求解
（2）f（x）=x²+2ax+2=（x+a）²+2-a²，对称轴为x=-a．分当-a≤-5，当-5＜-a＜5，当-a≥5，分别求出最小值表达式，建立方程求解

解答：解：（1）若a=-1，则f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，对称轴为x=1，
所以当x=1时，取得最小值为f（1）=1
当x=-5时，取得最大值为f（-5）=37
（2）f（x）=x²+2ax+2=（x+a）²+2-a²，对称轴为x=-a．
当-a≤-5，即a≥5时，f（x）min=f（-5）=27-10a=-3，得a=3，舍去．
当-5＜-a＜5，即-5＜a＜5时，f（x）min=f（-a）=2-a²=-3，解得a=±

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当-a≥5，即a≤5时，f（x）min=f（5）=27+10a=-3，得a=-3，舍去．
综上所述，a=±

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点评：本题考查二次函数图象与性质，函数最值求解，考查数形结合、分类与整合思想．