Question

如图，在直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，CB=1，，M为侧棱CC₁上一点，AM⊥BA₁.

   （1）求证：AM⊥平面A₁BC；

   （2）求二面角B AM C的大小；

   （3）求点C到平面ABM的距离.

Answer 1

证明：（I）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，易知面ACC₁A₁⊥面ABC，

    ∵∠ACB = 90°，

∴BC⊥面ACC₁A₁，                                                                          

∵AM面ACC₁A₁

∴BC⊥AM

∵AM⊥BA₁，且BC∩BA₁=B

∴AM⊥平面A₁BC                                                                             

   （II）设AM与A₁C的交点为O，连结BO，由（I）可知AM⊥OB，且AM⊥OC，所以∠BOC为二面角B AM C的平面角                                                                                                        

 在Rt△ACM和Rt△A₁AC中，∠OAC +∠ACO=90°，

    ∴∠AA₁C =∠MAC

∴Rt△ACM∽Rt△A₁AC

∴AC² = MC?AA₁

                                                                                   

，故所求二面角的大小为45°                                   

   （III）设点C到平面ABM的距离为h，易知BO=，

可得                                

∴点C到平面ABM的距离为                                                        

解法二：（I）同解法一

   （II）如图以C为原点，CA，CB，CC₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则

   

    即                              

    设向量，则

    的平面AMB的一个法向量为

    是平面AMC的一个法向量                 

   

    易知，所夹的角等于二面角B AM C的大小，故所求二面角的大小为45°

   （III）向量即为所求距离    

                                                                      

∴点C到平面ABM的距离为。