Question

19.如图，曲线G的方程为y²=2x（y≥0）.以原点为圆心，以t（t ＞0）为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B.直线AB与x轴相交于点C.

（Ⅰ）求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式；

（Ⅱ）设曲线G上点D的横坐标为a＋2，求证：直线CD的斜率为定值.

Answer 1

本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力，综合分析问题的能力。

解：（Ⅰ）由题意知，。

因为|OA|=t,所以a²+2a=t².

由于t＞0,故有　　（1）

由点B(0,t),C(c,0)的坐标知，直线BC的方程为

。

又因点A在直线BC上，故有

，

将（1）代入上式，得

，

解得。

（Ⅱ）因为，所以直线CD的斜率为

，

所以直线CD的斜率为定值。