Question

【题目】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若方程有两个实数根，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)

【解析】

（1）由题意，求得函数的导数，分类讨论，即可求解函数的单调区间；

（2）令，知单调递增且有大于0的零点，不妨设为，若有有两个零点，需满足，即，令，

得出在上单调递减，求得的解集为，当时，，即，进而利用函数的单调性求解.

（1）由题可得，

当时，，在上单调递增；

当时，，，在上单调递增；

，，在上单调递减.

（2）令，，易知单调递增且一定有大于0的零点，不妨设为，，即，，

故若有有两个零点，需满足，

即 ，

令，，所以在上单调递减.

，所以的解集为，

由，所以.

当时，，

有，

令，

由于，所以，，

故，所以，

故，在上有唯一零点，另一方面，在上，

当时，由增长速度大，所以有，

综上，.