题目内容
已知椭圆的一个焦点
，且离心率e满足
成等比数列．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）试问是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M，N，且线段MN恰被点
平分．
解：（1）
，∴
，∵
，∴a=3…（2分）
∴b2=1，∴
…（4分）
（2）假设存在这样的直线l，设M（x1，y1），N（x2，y2）
则
，作差得（y1+y2）（y1-y2）+9（x1+x2）（x1-x2）=0…（6分）
∵线段MN恰被点平分
∴x1+x2=-1，y1+y2=3
设直线l的斜率为k，则k=3，∴直线l的方程为y=3x+3…（10分）
检验：
，整理得x2+x=0显然△＞0
检验成立，所以存在这样的直线l…．（12分）
分析：（1）利用椭圆的一个焦点，且离心率e满足成等比数列，求出几何量，从而可得椭圆的标准方程；
（2）利用点差法，结合线段MN恰被点平分，可得直线方程，再进行验证，即可得到结论．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
，∴，∵，∴a=3…（2分）∴b2=1，∴
…（4分）（2）假设存在这样的直线l，设M（x1，y1），N（x2，y2）
则
，作差得（y1+y2）（y1-y2）+9（x1+x2）（x1-x2）=0…（6分）∵线段MN恰被点
平分∴x1+x2=-1，y1+y2=3
设直线l的斜率为k，则k=3，∴直线l的方程为y=3x+3…（10分）
检验：
，整理得x2+x=0显然△＞0检验成立，所以存在这样的直线l…．（12分）
分析：（1）利用椭圆的一个焦点
，且离心率e满足成等比数列，求出几何量，从而可得椭圆的标准方程；（2）利用点差法，结合线段MN恰被点
平分，可得直线方程，再进行验证，即可得到结论．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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已知椭圆的一个焦点为F，若椭圆上存在点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，则该椭圆的离心率为（ ）
A、
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B、
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C、
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D、
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