Question

已知椭圆的一个焦点F1(0，-2

2

)，且离心率e满足

2

3

，e，

4

3

成等比数列．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）试问是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M，N，且线段MN恰被点P(-

1

2

，

3

2

)平分．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的一个焦点F1(0，-2

2

)，且离心率e满足

2

3

，e，

4

3

成等比数列，求出几何量，从而可得椭圆的标准方程；
（2）利用点差法，结合线段MN恰被点P(-

1

2

，

3

2

)平分，可得直线方程，再进行验证，即可得到结论．

解答：解：（1）e2=

8

9

，∴

c

a

=

2 2

3

，∵c=2

2

，∴a=3…（2分）
∴b²=1，∴

y2

9

+x2=1…（4分）
（2）假设存在这样的直线l，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
则

y 2 1

9

+

x

2 1

=1，

y 2 2

9

+

x

2 2

=1，作差得（y₁+y₂）（y₁-y₂）+9（x₁+x₂）（x₁-x₂）=0…（6分）
∵线段MN恰被点P(-

1

2

，

3

2

)平分
∴x₁+x₂=-1，y₁+y₂=3
设直线l的斜率为k，则k=3，∴直线l的方程为y=3x+3…（10分）
检验：

y=3x+3 y2+9x2=9

，整理得x²+x=0显然△＞0
检验成立，所以存在这样的直线l…．（12分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．