Question

16．已知集合A={x|x²-2ax+4a²-3=0}，集合B={x|x²-x-2=0}，集合C={x|x²+2x-8=0}．
（1）若A∩B≠∅，A∩C=∅，求实数a的值；
（2）若A∩B=A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出B与C中方程的解确定出B与C，根据A∩B≠∅，A∩C=∅，确定出a的值即可；
（2）由A∩B=A，得到A⊆B，分A为空集与A不为空集两种情况求出a的范围即可．

解答 解：（1）由B中方程变形得：（x-2）（x+1）=0，
解得：x=2或x=-1，即B={-1，2}，
由C中方程变形得：（x-2）（x+4）=0，
解得：x=2或x=-4，即C={-4，2}，
由A∩B≠∅，A∩C=∅，得到x=-1是A中方程的解，
把x=-1代入A中方程得：1+2a+4a²-3=0，
解得：a=$\frac{1}{2}$或a=-1，
当a=$\frac{1}{2}$时，A中方程为x²-x-2=0，即x=2或-1，A={-1，2}，不合题意，舍去；
当a=-1时，A中方程为x²+2x+1=0，即x=-1，A={-1}，符合题意，
则a=-1；
（2）∵A∩B=A，∴A⊆B，
当A=∅，即A中方程无解，△=4a²-4（4a²-3）＜0，
解得：a＜-1或a＞1；
当A≠∅时，x=-1或x=2为A中方程的解，
把x=-1代入A中方程得：1+2a+4a²-3=0，
解得：a=$\frac{1}{2}$或a=-1；
把x=2代入A中方程得：4-4a+4a²-3=0，即（2a-1）²=0，
解得：a=$\frac{1}{2}$，
综上，a的范围为{a|a≤-1或a＞1，且a=$\frac{1}{2}$}．

点评 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．