Question

（本小题满分12分）

如图，直三棱柱ABC−A₁B₁C₁中， AC = BC = AA₁，D是棱AA₁的中点，DC₁⊥BD．

（Ⅰ）证明：DC₁⊥BC；

（Ⅱ）求二面角A₁−BD−C₁的大小．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）证明：见解析;（Ⅱ）二面角A₁−BD−C₁的大小为30^o．

【解析】

试题分析：（I）易证DC₁⊥BD,再根据勾股定理证DC₁⊥DC,从而可证得DC₁⊥平面DCB,得到DC₁⊥BC.

(II)求二面角关键是作出二面角的平面角，取A₁B₁的中点为M，连结C₁M、DM,证明∠C₁DM是A₁−BD−C₁的平面角即可.

（Ⅰ）证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．

∵D是AA₁的中点， ∴ DC = DC₁

又 AC = AA₁，∴ DC₁² + DC²  = CC₁²

∴ DC₁⊥DC

又 DC₁⊥BD，且DC₁∩DC = D

∴ DC₁⊥平面DCB．

∴ DC₁⊥BC

（Ⅱ）  由（Ⅰ）知，DC₁⊥BC，

又CC₁⊥BC， DC₁∩CC₁ = C₁

∴ BC⊥平面CDC₁

∵ B₁C₁∥BC      ∴B₁C₁⊥平面CDC₁

∴ B₁C₁⊥A₁C₁，△A₁C₁B₁为等腰直角三角形

取A₁B₁的中点为M，连结C₁M、DM

∵ 直棱柱的底面A₁B₁C₁⊥侧面AB₁，C₁M⊥A₁B₁

∴ C₁M⊥平面AB₁，C₁M⊥BD．

由（Ⅰ）知，DC₁⊥平面DCB，∴DC₁⊥BD

又C₁M∩DC₁ = C₁，∴BD⊥平面C₁MD    MD⊥BD

∴∠C₁DM是A₁−BD−C₁的平面角．

在Rt △C₁MD中，C₁M = A₁C₁，C₁D =  = A₁C₁，

∴sin∠C₁DM =  = ， ∴∠C₁DM = 30^o

∴二面角A₁−BD−C₁的大小为30^o．

考点：本小题主要考查了线线，线面，面面之间的垂直与平行关系，以及二面角等知识.

点评：掌握线线，线面，面面平行与垂直的判定与性质是求解空间的角与距离的关键.求角的步骤为：一作，二证，三指，四求.