题目内容
在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，-
)、(0，
)的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线 y=kx+1与曲线C交于A、B两点．
（Ⅰ）写出曲线C的方程；
（Ⅱ）若
⊥
，求实数k的值；
（Ⅲ）若k＞0，求△OAB面积的取值范围．
| 3 |
| 3 |
（Ⅰ）写出曲线C的方程；
（Ⅱ）若
| OA |
| OB |
（Ⅲ）若k＞0，求△OAB面积的取值范围．
分析：（Ⅰ）根据点P到两点(0，-
)、(0，
)的距离之和等于4，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，-
)、(0，
)为焦点，长半轴为2的椭圆，由此可求曲线C的方程；
（Ⅱ）设
=（x1，y1），
=（x2，y2），利用
⊥
，可得x1x2+y1y2=0，把y=kx+1代入椭圆方程，消去y可得（4+k2）x2+2kx-3=0，根据韦达定理，即可求实数k的值；
（Ⅲ）表示出△OAB面积，换元，利用函数的单调性，即可确定△OAB面积的取值范围．
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
（Ⅱ）设
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
（Ⅲ）表示出△OAB面积，换元，利用函数的单调性，即可确定△OAB面积的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）设P（x，y），∵点P到两点(0，-
)、(0，
)的距离之和等于4
∴由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，-
)、(0，
)为焦点，长半轴为2的椭圆，
∴短半轴b=1
∴曲线C的方程为x2+
=1；
（Ⅱ）设
=（x1，y1），
=（x2，y2），
∵
⊥
，
∴x1x2+y1y2=0，
∴x1x2+（kx1+1）（kx2+1）=0，
（x1x2）（1+k2）+k（x1+x2）+1=0，（1）
把y=kx+1代入椭圆方程，消去y可得（4+k2）x2+2kx-3=0，
根据韦达定理，x1+x2=-
，x1x2=-
，
代入（1）式，可得（-
）（1+k2）+k×（-
）+1=0
∴k2=
，∴k=±
；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，x1+x2=-
，x1x2=-
，
∴|x1-x2|=
=
∴△OAB面积S=
×1×|x1-x2|=2
令k2+3=t（t＞3），则
=
=
∵t＞3，∴t+
＞
，∴t+
+2＞
，∴0＜
＜
∴0＜S＜
．
| 3 |
| 3 |
∴由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，-
| 3 |
| 3 |
∴短半轴b=1
∴曲线C的方程为x2+
| y2 |
| 4 |
（Ⅱ）设
| OA |
| OB |
∵
| OA |
| OB |
∴x1x2+y1y2=0，
∴x1x2+（kx1+1）（kx2+1）=0，
（x1x2）（1+k2）+k（x1+x2）+1=0，（1）
把y=kx+1代入椭圆方程，消去y可得（4+k2）x2+2kx-3=0，
根据韦达定理，x1+x2=-
| 2k |
| 4+k2 |
| 3 |
| 4+k2 |
代入（1）式，可得（-
| 3 |
| 4+k2 |
| 2k |
| 4+k2 |
∴k2=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，x1+x2=-
| 2k |
| 4+k2 |
| 3 |
| 4+k2 |
∴|x1-x2|=
(-
|
|
∴△OAB面积S=
| 1 |
| 2 |
|
令k2+3=t（t＞3），则
|
|
|
∵t＞3，∴t+
| 1 |
| t |
| 10 |
| 3 |
| 1 |
| t |
| 16 |
| 3 |
|
| ||
| 4 |
∴0＜S＜
| ||
| 2 |
点评：本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
如图所示，在直角坐标系xOy中，射线OA在第一象限，且与x轴的正半轴成定角60°，动点P在射线OA上运动，动点Q在y轴的正半轴上运动，△POQ的面积为