题目内容

已知f（x）=2sin（2x+ $数学公式$ ）+a+1（a为常数）．
（1）求f（x）的递增区间；
（2）若x∈[0， $数学公式$ ]时，f（x）的最大值为4，求a的值；
（3）求出使f（x）取最大值时x的集合．

解：（1）由2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ 得kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ （k∈Z），
所以，递增区间为[kπ- $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]（k∈Z）；
（2）∵x∈[0， $\text{[math]}$ ]，
∴ $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，
∴2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）的最大值为2，
∵f（x）=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+a+1在∈[0， $\text{[math]}$ ]的最大值为4，
∴a+3=4，
∴a=1．
（3）∵2x+ $\text{[math]}$ =2kπ+ $\text{[math]}$ ，
∴x=kπ+ $\text{[math]}$ （k∈Z），
∴f（x）取最大值时x的集合{x|x=kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈Z}．
分析：（1）由2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，即可求得f（x）的递增区间；
（2）由x∈[0， $\text{[math]}$ ]，可求得 $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，从而可求得）2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）的最大值，再由f（x）的最大值为4可求a的值；
（3）由2x+ $\text{[math]}$ =2kπ+ $\text{[math]}$ 即可求出使f（x）取最大值时x的集合．
点评：本题考查复合三角函数的单调性与三角函数的最值，考查正弦函数的性质，考查分析与运算能力，属于中档题．