Question

设定义在[a，b]（a≥-4）上的函数f（x），若函数g(x)=f(

x+4

+2m)与f（x）的定义域与值域都相同，则实数m的取值范围为

(-

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8

，-2]

．

Answer 1

分析：令t=

x+4

+2m，由题意知函数t=

x+4

+2m的定义域与值域均为[a，b]（a≥-4），由于函数t=

x+4

+2m在定义域内为增函数，所以

a+4 +2m=a b+4 +2m=b

，从而可转化为方程

x+4

+2m=x在区间[-4，+∞）内有两个不等的根．构造函数y=

x+4

，y=x-2m，进一步转化为函数图象有两个不同交点，从而得解．

解答：解：令t=

x+4

+2m，由题意知函数t=

x+4

+2m的定义域与值域均为[a，b]（a≥-4）
又函数t=

x+4

+2m在定义域内为增函数，所以

a+4 +2m=a b+4 +2m=b

，即方程

x+4

+2m=x在区间[-4，+∞）内有两个不等的根．
如图，构造函数y=

x+4

，y=x-2m则可知直线与抛物线相切时，两函数图象有一个交点，过点（-4，0）时，有两个交点．
当直线与抛物线相切时，

x+4

=x-2m，∴x²-（4m+1）x+4m²-4=0，
∴△=（4m+1）²-4（4m²-4）=0，∴m=-

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8

当直线过点（-4，0）时，-4-2m=0，∴m=-2
根据图象可知，实数m的取值范围为(-

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8

，-2]
故答案为：(-

17

8

，-2]

点评：本题以函数为载体，考查函数的性质，考查数形结合的数学思想，解题的关键是转化为方程

x+4

+2m=x在区间[-4，+∞）内有两个不等的根，从而利用数形结合的思想求解．