题目内容

设定义在[a，b]（a≥-4）上的函数f（x），若函数 $数学公式$ 与f（x）的定义域与值域都相同，则实数m的取值范围为________．

$\text{[math]}$
分析：令 $\text{[math]}$ ，由题意知函数 $\text{[math]}$ 的定义域与值域均为[a，b]（a≥-4），由于函数 $\text{[math]}$ 在定义域内为增函数，所以 $\text{[math]}$ ，从而可转化为方程 $\text{[math]}$ 在区间[-4，+∞）内有两个不等的根．构造函数 $\text{[math]}$ ，y=x-2m，进一步转化为函数图象有两个不同交点，从而得解．
解答：令 $\text{[math]}$ ，由题意知函数 $\text{[math]}$ 的定义域与值域均为[a，b]（a≥-4）
又函数 $\text{[math]}$ 在定义域内为增函数，所以 $\text{[math]}$ ，即方程 $\text{[math]}$ 在区间[-4，+∞）内有两个不等的根．
如图，构造函数 $\text{[math]}$ ，y=x-2m则可知直线与抛物线相切时，两函数图象有一个交点，过点（-4，0）时，有两个交点．

当直线与抛物线相切时， $\text{[math]}$ ，∴x²-（4m+1）x+4m²-4=0，
∴△=（4m+1）²-4（4m²-4）=0，∴ $\text{[math]}$
当直线过点（-4，0）时，-4-2m=0，∴m=-2
根据图象可知，实数m的取值范围为 $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题以函数为载体，考查函数的性质，考查数形结合的数学思想，解题的关键是转化为方程 $\text{[math]}$ 在区间[-4，+∞）内有两个不等的根，从而利用数形结合的思想求解．