Question

(本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．

（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；

（2）若二面角M-BQ-C为30°，设PM=tMC，

试确定t的值

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

（1）∵AD // BC，BC=AD，Q为AD的中点，

∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ．  ∵∠ADC=90°    ∴∠AQB=90°

 即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD  且平面PAD∩平面ABCD=AD， 

∴BQ⊥平面PAD．  ∵BQ平面PQB，

∴平面PQB⊥平面PAD．                          ……………………7分

另证：AD // BC，BC=AD，Q为AD的中点，  ∴ 四边形BCDQ为平行四边形，

∴CD // BQ ．∵ ∠ADC=90°    ∴∠AQB=90°．  ∵ PA=PD，  ∴PQ⊥AD． 

 

∵ PQ∩BQ=Q，  ∴AD⊥平面PBQ．  ∵ AD平面PAD，

∴平面PQB⊥平面PAD．……7分

（2）∵PA=PD，Q为AD的中点，  ∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PQ⊥平面ABCD．

如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．

则平面BQC的法向量为；

，，，．

设，则，

，∵，

∴ ，∴            ……………………12分

在平面MBQ中，，，

∴ 平面MBQ法向量为．       

∵二面角M-BQ-C为30°，  ，

∴ ．                                        ……………………14分

注：此小题若用几何法做也相应给分。

 

【解析】略