Question

已知F₁、F₂是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，以线段F₁F₂为斜边作等腰直角三角形F₁MF₂，如果线段MF₁的中点在双曲线上，则该双曲线的离心率是

1. A.
   +
2. B.
   -
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：记双曲线的焦距为2C、依题意知点M在y轴上，不妨设F₁、F₂分别是双曲线的左、右焦点，M在y轴正半轴上，则可表示出F₁和M的坐标，进而可表示出线段MF₁的中点坐标代入双曲线方程，化简整理即可求得e．
解答：记双曲线的焦距为2C、依题意知点M在y轴上，
不妨设F₁、F₂分别是双曲线的左、右焦点，M在y轴正半轴上，则有F₁（-c，0），M（0，c），
∴线段MF₁的中点坐标是（-，）．
又∵线段MF₁的中点在双曲线上，
∴-=1，即-=4，-=4，（e²）²-6e²+4=0，e²=3±．又e²＞1，
∴e²=3
∵（）²=3+，
∴e=．
故选C
点评：本题主要考查了直线与双曲线的关系以及求离心率的问题．考查了学生的综合分析问题和基本的运算能力．