Question

已知函数f（x）=x³-x．
（1）设M（λ₀，f（λ₀））是函数f（x）图象上的-点，求点M处的切线方程；
（2）证明：过点N（2，1）可以作曲线，f（x）=x³-x的三条切线．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），根据切点为M（λ₀，f（λ₀））得到切线的斜率为f'（t），所以根据斜率和M点坐标写出切线方程即可；
（2）如果切点是N（2，1），由（1）知，则存在t使1=2（3t²-1）x-2t³，于是过点N（2，1），可作曲线y=f（x）的三条切线即为方程2t³-6t²+3=0有三个相异的实数根．记g（t）=2t³-6t²+3=0，求出其导函数=0时t的值，利用t的值分区间讨论导函数的正负得到g（t）的单调区间，利用g（t）的增减性得到g（t）的极值，根据极值分区间考虑方程g（t）=0有三个相异的实数根，得到g（t）在R上中人有一个极大值3和一个极小值-5，即可得证．

解答：解：（1）求函数f（x）的导函数；f'（x）=3x²-1．
曲线y=f（x）在点M（λ₀，f（λ₀））处的切线方程为：y-f（λ₀）=f'（λ₀）（x-λ₀），即y=（3λ₀²-1）x-2λ₀³；
（2）如果切点是N（2，1），由（1）知，则存在t，使1=2（3t²-1）x-2t³．
于是方程2t³-6t²+3=0有三个相异的实数根．
记g（t）=2t³-6t²+3，则g'（t）=6t²-12t=6t（t-2）．
当t变化时，g（t），g'（t）变化情况如下表：

由于g（t）在R上中人有一个极大值3和一个极小值-5，故过点N（2，1）可以作曲线，f（x）=x³-x的三条切线．

点评：考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，会利用导数研究函数的增减性得到函数的极值．