Question

已知定义在（-2，2）上的函数f(x)=

a，x=1 x3+bx2-x-1 x2+x-2 ，x≠1

连续．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅲ）求f（x）的最值．

Answer 1

分析：（I）根据函数f(x)=

a，x=1 x3+bx2-x-1 x2+x-2 ，x≠1

连续，且x≠1时，f（x）=

x 3+bx 2-x-1

(x-1)(x+2)

，得：x=1必是方程：x³+bx²-x-1=0的根，即可求得b值，进而求得a值．
（II）由（I）得f(x)=

4 3 ，x=1 (x+1)2 x+2 ，x≠1

=

(x+1) 2

x+2

，利用

(x+1) 2

x+2

=x+2+

1

x+2

-2，它可以看成是由函数g（x）=x+

1

x

进行图象变换而得f（x）的单调性；
（III）结合（II）可得f（x）的最小值．

解答：解：（I）∵函数f(x)=

a，x=1 x3+bx2-x-1 x2+x-2 ，x≠1

连续，
且x≠1时，f（x）=

x 3+bx 2-x-1

(x-1)(x+2)

，得：x=1必是方程：x³+bx²-x-1=0的根，
∴解得b=1，
∴f(x)=

a，x=1 (x+1)2 x+2 ，x≠1

，故a=

(1+1) 2

1+2

=

4

3

，
（II）由（I）得f(x)=

4 3 ，x=1 (x+1)2 x+2 ，x≠1

=

(x+1) 2

x+2

∵

(x+1) 2

x+2

=x+2+

1

x+2

-2，它可以看成是由函数g（x）=x+

1

x

进行图象变换而得，
∵定义域为（-2，2）
∴f（x）的单调性是：在区间（-1，2）上是增函数，在区间（-2，-1）上是减函数，
（III）结合（II）得：f（x）在区间（-1，2）上是增函数，在区间（-2，-1）上是减函数
∴f（x）在x=-1时取得最小值，且f（x）的最小值为：f（-1）=0．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．