题目内容
已知抛物线C：y2=4x，直线l：x+y+m=0与抛物线交于A、B两点．
（1）若m=-1，求弦AB的长；
（2）若P（x1，y1）、Q（x2，y2）、R（x3，y3）是抛物线C上的三点，且直线PQ、QR、RP的斜率成等差数列，求证：x2、x1、x3成等差数列；
（3）在抛物线C上是否存在一个定点P，使得直线PA、PB的斜率互为相反数，若存在，求出点P；若不存在，请说明理由．
（1）若m=-1，求弦AB的长；
（2）若P（x1，y1）、Q（x2，y2）、R（x3，y3）是抛物线C上的三点，且直线PQ、QR、RP的斜率成等差数列，求证：x2、x1、x3成等差数列；
（3）在抛物线C上是否存在一个定点P，使得直线PA、PB的斜率互为相反数，若存在，求出点P；若不存在，请说明理由．
分析：（1）将直线l：x+y-1=0与抛物线方程联立，消元可得y2+4y-4=0，由此可求弦AB的长；
（2）直线PQ、QR、RP的斜率分别为
，
，
，利用直线PQ、QR、RP的斜率成等差数列，建立方程，利用P（x1，y1）、Q（x2，y2）、R（x3，y3）是抛物线C上的三点可得y12=4x1，y22=4x2，y32=4x3，将它们分别相减，整理可得
=
，
=
，
=
，从而可知x2、x1、x3成等差数列；
（3）设存在一个定点P（x1，y1），使得直线PA、PB的斜率互为相反数，设A（x2，y2）、B（x3，y3），则直线PA、PB的斜率分别为：
，
，从而可得2y1+y2+y3=0，进而可得存在点P（1，2），使得直线PA、PB的斜率互为相反数．
（2）直线PQ、QR、RP的斜率分别为
| y2-y1 |
| x2-x1 |
| y3-y2 |
| x3-x2 |
| y3-y1 |
| x3-x1 |
| y2-y1 |
| x2-x1 |
| 4 |
| y2+y1 |
| y3-y2 |
| x3-x2 |
| 4 |
| y3+y2 |
| y3-y1 |
| x3-x1 |
| 4 |
| y3+y1 |
（3）设存在一个定点P（x1，y1），使得直线PA、PB的斜率互为相反数，设A（x2，y2）、B（x3，y3），则直线PA、PB的斜率分别为：
| y2-y1 |
| x2-x1 |
| y3-y1 |
| x3-x1 |
解答：（1）解：将直线l：x+y-1=0与抛物线方程联立，消元可得y2+4y-4=0
∴y=-2+2
或-2-2
，∴x=3-2
或3+2
∴弦AB的长为
=8
（2）证明：直线PQ、QR、RP的斜率分别为
，
，
∵直线PQ、QR、RP的斜率成等差数列
∴2×
=
+
∵P（x1，y1）、Q（x2，y2）、R（x3，y3）是抛物线C上的三点
∴y12=4x1，y22=4x2，y32=4x3
将它们分别相减，整理可得
=
，
=
，
=
∴2×
=
+
∴y12-y32=y22-y12
∴4x1-4x3=4x2-4x1
∴x1-x3=x2-x1
∴x2、x1、x3成等差数列；
（3）解：设存在一个定点P（x1，y1），使得直线PA、PB的斜率互为相反数，设A（x2，y2）、B（x3，y3），则
直线PA、PB的斜率分别为：
，
∴
+
=0
∴
+
=0
∴2y1+y2+y3=0
由（1）知，y2+y3=-4，∴2y1-4=0，∴y1=2，∴x1=1
∴存在点P（1，2），使得直线PA、PB的斜率互为相反数．
∴y=-2+2
| 2 |
| 2 |
| 2 |
| 2 |
∴弦AB的长为
| 32+32 |
（2）证明：直线PQ、QR、RP的斜率分别为
| y2-y1 |
| x2-x1 |
| y3-y2 |
| x3-x2 |
| y3-y1 |
| x3-x1 |
∵直线PQ、QR、RP的斜率成等差数列
∴2×
| y3-y2 |
| x3-x2 |
| y2-y1 |
| x2-x1 |
| y3-y1 |
| x3-x1 |
∵P（x1，y1）、Q（x2，y2）、R（x3，y3）是抛物线C上的三点
∴y12=4x1，y22=4x2，y32=4x3
将它们分别相减，整理可得
| y2-y1 |
| x2-x1 |
| 4 |
| y2+y1 |
| y3-y2 |
| x3-x2 |
| 4 |
| y3+y2 |
| y3-y1 |
| x3-x1 |
| 4 |
| y3+y1 |
∴2×
| 4 |
| y3+y2 |
| 4 |
| y2+y1 |
| 4 |
| y3+y1 |
∴y12-y32=y22-y12
∴4x1-4x3=4x2-4x1
∴x1-x3=x2-x1
∴x2、x1、x3成等差数列；
（3）解：设存在一个定点P（x1，y1），使得直线PA、PB的斜率互为相反数，设A（x2，y2）、B（x3，y3），则
直线PA、PB的斜率分别为：
| y2-y1 |
| x2-x1 |
| y3-y1 |
| x3-x1 |
∴
| y2-y1 |
| x2-x1 |
| y3-y1 |
| x3-x1 |
∴
| 4 |
| y2+y1 |
| 4 |
| y3+y1 |
∴2y1+y2+y3=0
由（1）知，y2+y3=-4，∴2y1-4=0，∴y1=2，∴x1=1
∴存在点P（1，2），使得直线PA、PB的斜率互为相反数．
点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数列与解析几何的综合，考查直线的斜率，综合性强．
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