Question

6．求证：4ⁿ＞（n+3）•3^n-1（n∈N^*，且n＞2）

Answer 1

分析 利用数学归纳法即可证明，当n=k+1≥3（k∈N^*）时，注意放缩．

解答 证明：（1）当n=3时，左边=4³=64，右边=6×3²=54，∴左边＞右边，不等式成立；
（2）假设n=k≥3（k∈N^*）时成立，即4^k＞（k+3）•3^k-1．
则当n=k+1时，左边=4^k+1=4•4^k＞4×（k+3）•3^k-1．
∵4（k+3）＞3（k+4），
∴4×（k+3）•3^k-1＞3（k+4）•3^k-1=（k+1+3）•3^k+1-1，
∴左边=4^k+1＞4×（k+4）•3^k-1＞（k+1+3）•3^k+1-1=右边，
∴当n=k+1时，不等式成立．
综上（1）（2）可得：不等式：4ⁿ＞（n+3）•3^n-1（n∈N^*，且n＞2）成立．

点评 本题考查了数学归纳法证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．