Question

设f（x）是(x2+

1

2x

)6展开式的中间项，若f（x）≤mx在区间[

2

2

，

2

]上恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A、（-∞，5）
• B、（-∞，5]
• C、（5，+∞）
• D、[5，+∞）

Answer 1

分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的中间项，将不等式恒成立转化为函数最值，求出函数最值．

解答：解：(x2+

1

2x

)6的展开式共有7项，
∴中间项为第4项
∵(x2+

1

2x

)6展开式的通项为Tr+1=

C

r 6

(x2)6-r(

1

2x

)r=(

1

2

)r

C

r 6

x12-3r
令r=3得T4=

1

8

C

3 6

x3=

5

2

x3
∴f（x）=

5

2

x3
∵（x）≤mx在区间[

2

2

，

2

]上恒成立
∴

5

2

x3≤mx在区间[

2

2

，

2

]上恒成立
∴m≥

5

2

x2在区间[

2

2

，

2

]上恒成立
∴m大于等于

5

2

x2在区间[

2

2

，

2

]上的最大值
当x=

2

时，

5

2

x2有最大值5
∴m≥5
故选项为D

点评：二项式定理通项及其展开式是高考常考知识点，1高考不排除与其他知识点结合应用．属于基础知识、基本运算的考查