Question

【题目】设数列的前项和，对任意，都有（为常数）．

（1）当时，求；

（2）当时，

（ⅰ）求证：数列是等差数列；

（ⅱ）若对任意，必存在使得，已知，且，求数列的通项公式．

Answer 1

【答案】(1) .

(2) （ⅰ）证明见解析；（ⅱ）.

【解析】

（1）利用项和公式求出是以1为首项，3为公比的等比数列，再求.(2) （ⅰ）证明即证数列是等差数列. （ⅱ）先求得，所以或，再求，再检验即得数列的通项公式.

（1）当，，时，．①

当时，，所以．

当时，．②

①－②得：．因为，所以，所以，

所以是以1为首项，3为公比的等比数列，

所以．

（2）（ⅰ）当，，时，．③

当时，．④

③－④得：，⑤

所以．⑥

⑤－⑥得：．

因为，所以 即，

所以是等差数列．

（ⅱ）因为，所以．

因为，所以，所以．

因为，所以．又因为，

所以，所以或．

当时，，，，

所以 不符合题意．

当时，，，

所以满足题意．

所以．