Question

【题目】已知函数，．

（1）若在处取得极值，求的值；

（2）设，试讨论函数的单调性；

（3）当时，若存在正实数满足，求证：．

Answer 1

【答案】(1).

(2)见解析.

(3)证明见解析.

【解析】

(1)先求导,再令即得a的值，再验证.(2)先求导得，再对a分类讨论得函数的单调性.(3)先化简已知得到，再令，，求得

的最小值为1，解不等式即得．

（1）解：因为，所以，

因为在处取得极值，

所以，解得．

验证：当时，，

易得在处取得极大值．

（2）解：因为，

所以．

①若，则当时，，所以函数在上单调递增；

当时，，函数在上单调递减．

②若，，

当时，易得函数在和上单调递增，

在上单调递减；

当时，恒成立，所以函数在上单调递增；

当时，易得函数在和上单调递增，

在上单调递减．

（3）证明：当时，，

因为，

所以，

即，

所以．

令，，

则，

当时，，所以函数在上单调递减；

当时，，所以函数在上单调递增．

所以函数在时，取得最小值，最小值为．

所以，

即，所以或．

因为为正实数，所以．

当时，，此时不存在满足条件，

所以．