Question

【题目】已知等腰梯形，.现将沿着折起，使得面面，点F为线段BC上一动点.

（1）证明：；

（2）如果F为BC中点，证明：面；

（3）若二面角的余弦值为，求的值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】

（1）先通过面面得到面，进而可得；

（2）取中点，连接，通过证明四边形为平行四边形，得到，进而可得面；

（3）以为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系，设求出面的法向量和面的法向量，通过二面角的余弦值为列方程求出，即的值．

（1）证明：在等腰梯形中， 所以，

因为面面，面面，面，

所以面，

所以 ；

（2）取中点，连接，

在三角形中， 而，所以，

即四边形为平行四边形，，

因为面面 所以面；

（3）由面，则以为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系.

　　　　　　　　　　

则，，

设则，

设面的法向量，

，即，

因为平面,所以是面的法向量，

若二面角的余弦值为，

则，

解得或者，由题意，

即．