Question

【题目】如图所示，圆的直径，为圆周上一点，，平面垂直圆所在平面，直线与圆所在平面所成角为，.

（1）证明：平面.

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）先证明平面，得出，又，则平面；

（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，通过计算法向量所成角的余弦值求出二面角的余弦值．

（1）∵是圆的直径，为圆周上一点，

∴，又平面平面，平面平面，

∴平面，∴，

又，，平面，平面，

∴平面；

（2）过作于，则平面，

过作交于，

∴为直线与平面所成的角，则，

由题意可得，，

∵，，∴，

∴，，

∴，，，

以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

从而，，

设平面的法向量，则得，

令，从而，而平面的法向量为，

故，

由图可知，二面角的平面角为锐角，

∴二面角的余弦值为．