Question

(本题满分13分) 已知函数,函数
（I）当时,求函数的表达式;
（II）若,且函数在上的最小值是2 ,求的值;
（III）对于（II）中所求的a值，若函数，恰有三个零点，求b的取值范围。

Answer 1

（Ⅰ）函数.（Ⅱ）。

试题分析： （1）先求解函数f(x)的导函数，进而得到第一问的解析式。
（2）∵由⑴知当时,,
分析导数的正负号，进而判定极值，得到最值。
（3）
所以，方程，有两个不等实根运用转化思想来得到。
解: （Ⅰ）∵,
∴当时,; 当时,
∴当时,; 当时,.
∴当时,函数. （4分）
（Ⅱ）∵由⑴知当时,,
∴当时, 当且仅当时取等号.由，得a="1" (8分)

令，得或x=b
（1）若b>1,则当0<x<1时，，当1<x<b,时，当x>b时，；
（2）若b<1,且b则当0<x<b时，，当b<x<1时，，当x>1时，
所以函数h(x)有三个零点的充要条件为或解得或 
综合： （13分）
另解：
所以，方程，有两个不等实根，且不含零根
解得： （13分）
点评：解决该试题的关键是运用导数的思想来判定函数单调性，进而分析极值，得到最值，同时对于方程根的问题可以转换为图像的交点问题解决。