Question

设｛a_n｝是由正数组成的等比数列，S_n是前n项和.

（Ⅰ）证明：＜lgS_n＋1；

（Ⅱ）是否存在常数C＞0使得=lg（S_n+1－C）成立?并证明你的结论.

 

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）证明：设｛an｝的公比为q，由题设知a1＞0，q＞0 （ⅰ）当q=1时，Sn=a1n，从而 SnSn+2－Sn+12=a1n（n+2）a1－（n+1）2a12=－a12＜0 （ⅱ）当q≠1时，Sn=，从而 SnSn+2－Sn+12==－a12qn＜0 由（ⅰ）和（ⅱ）得SnSn+2＜Sn+12 根据对数函数的单调性知lg（SnSn+2）＜lgSn+12 即＜lgSn+1. （Ⅱ）解：不存在. 证法一：要使=lg（Sn+1－C）成立，则有 　　 　　 　　 ①② 　　 　　   分两种情况讨论： （ⅰ）当q=1时， （Sn－C）（Sn+2－C）－（Sn+1－C）2＝ （a1n－C）［a1（n+2）－C］－［a1（n+1）－C］2 =－a12＜0 可知，不满足条件①，即不存在常数C＞0，使结论成立. （ⅱ）当q≠1时， （Sn－C）（Sn+2－C）－（Sn+1－C）2 因a1qn≠0，若条件①成立，故只能是a1－C（1－q）=0，即C=，此时因为C＞0，a1＞0，所以0＜q＜1，但是0＜q＜1时，Sn－＜0，不满足条件②，即不存在常数C＞0，使结论成立. 综合（ⅰ）、（ⅱ），同时满足条件①，②的常数C＞0不存在，即不存在常数C＞0， 使=lg（Sn＋1－C） 证法二：用反证法，假设存在常数C＞0，使 　　 　　 　　 ①②③ 　　   　　 ④ 　　 　　   则有 由④得SnSn+2－Sn+12=C（Sn+Sn+2－2Sn+1        ⑤ 根据平均值不等式及①、②、③、④知 Sn+Sn+2－2Sn+1=（Sn－C）+（Sn+2－C）－2（Sn+1－C） ≥－2（Sn+1－C）=0 因为C＞0，故⑤式右端非负，而由（Ⅰ）知，⑤式左端小于零，矛盾， 故不存在常数C＜0，使=lg（Sn+1－C）.