Question

如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点．
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求二面角A-BC-F的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取CE的中点G，连接FG、BG．由已知条件推导出四边形GFAB为平行四边形，由此能证明AF∥平面BCE．
（2）由已知条件推导出AF⊥CD，DE⊥AF，从而AF⊥平面CDE．由BG∥AF，得BG⊥平面CDE，由此能证明平面BCE⊥平面CDE．
（3）过A作直线l⊥面ABF，以A为原点，分别以直线AF、l、AB分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BC-F的余弦值．

解答： （1）证明：取CE的中点G，连接FG、BG．
∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF=

1

2

DE，
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，∴GF∥AB．…（2分）
又AB=

1

2

DE，∴GF=AB．又DE=2AB，
∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG．
∵AF?平面BCE，BG?平面BCE，
∴AF∥平面BCE．…（4分）
（2）证明：∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，
∴AF⊥CD．
∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF．
又CD∩DE=D，故AF⊥平面CDE．…（6分）
∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE．…（7分）
∵BG?平面BCE，
∴平面BCE⊥平面CDE．…（8分）
（3）解：过A作直线l⊥面ABF，以A为原点，
分别以直线AF、l、AB分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系（如图），设AD=2，
则A（0，0，0），B（0，0，1），C（

3

，-1，0），F（

3

，0，0），
∴

AB

=（0，0，1），

AC

=（

3

，-1，0），

BF

=(

3

，0，-1)，

CF

=(0，1，0)，…（9分）
设平面ABC的法向量为

n

=(x1，y1，z1)，平面FBC的法向量为

m

=(x2，y2，z2)，
由

n ⊥ AB n ⊥ AC

，得

z1=0 3 x1-y1=0

，令x₁=1得：

n

=(1，

3

，0)
同理可得：

m

=（1，0，

3

），…（11分）
∴cos＜

m

，

n

＞=

1

2×2

=

1

4

．…（12分）
故所求的二面角A-BC-F的余弦值为：

1

4

．…（13分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值勤的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．