Question

已知定点F(1，0)，点P在y轴上运动，点M在x轴上运动，且=0，动点N满足2=0.

(Ⅰ)求点N的轨迹C的方程；

(Ⅱ)G为曲线C的准线与x轴的交点，过点G的直线l交曲线C于不同的两点A、B，若点D为AB的中点，在x轴上存在一点E，使=0，求的取值范围(O为坐标原点).

Answer 1

解：(1)设P(0,s),M(t,0),N(x,y),则由=0,得t+s²=0  ①

由2=0,得2(x,y-s)+(t-x,-y)=(0,0)即    ②；

②代入①得轨迹方程为y²=4x

(Ⅱ)设直线方程为y=k(x+1),代入y²=4x,得k²x²+2(k²-2)x+k²=0,由得0＜k²＜1.  ③

设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),D(x₀,y₀),由知,故直线DE的方程为：y=,令y=0,得x_E=1+,∵0＜k²＜1,故x_E＞3,即||的取值范围为：(3,+∞) 。